Detail předmětu
Diferenciální a diferenční rovnice v teorii řízení
FSI-VDR Ak. rok: 2025/2026 Zimní semestr
Kurz je zaměřen na prohloubení a aplikace teorie diferenciálních a diferenčních rovnic v teorii regulace. V tomto předmětu je kladen důraz na konkrétní aplikace těchto rovnic v teorii spojitého a diskrétního řízení, včetně jejich demonstrací v prostředí Matlab. Obsahem kurzu je využití Laplaceovy a Z-transformace. Pro názornost budou úlohy řešeny a simulovány v Matlabu.
Garant předmětu
Zajišťuje ústav
Výsledky učení předmětu
Prerekvizity
Diferenciální a integrální počet funkce jedné proměnné, diferenciální rovnice, diferenční rovnice, lineární spojité a diskrétní řízení, Matlab.
Plánované vzdělávací činnosti a výukové metody
Způsob a kritéria hodnocení
Podmínkou pro udělení zápočtu je aktivní účast ve cvičeních a vypracování zadaného resp. vybraného příkladu, na kterém student předvede více metod (včetně počítačového zpracování) a zhodnotí jejich efektivitu.
Zkouška je písemná a ústní. V písemné části student řeší dvě základní témata (diferenciální a diferenční rovnice). Ústní část zkoušky obsahuje diskuzi o těchto úlohách a možné doplňující otázky.
Účast na cvičeních i přednáškách je povinná, vzhledem k úzké propojenosti jejich náplně. Neúčast je možno nahradit zadáním náhradních úloh.
Jazyk výuky
čeština
Cíl
Cílem tohoto předmětu je aplikování obyčejných diferenciálních a diferenčních rovnic v teorii řízení. Dále je snahou předmětu rozšíření a propojení znalostí z oblasti řešení diferenciálních a diferenčních rovnic, Laplaceovy transformace, Z-transformace a teorie přenosu. Účelem kurzu bude rovněž řešení a simulování úloh s podporou programu Matlab.
Absolvováním tohoto předmětu si studenti nejen prohloubí znalosti v oblasti diferenciálních a diferenčních rovnic, ale seznámí se s aplikacemi a různými způsoby řešení včetně jejich výhod a nevýhod (klasický matematický přístup, Laplaceova transformace, Z-transformace, Matlab).
Vymezení kontrolované výuky a způsob jejího provádění a formy nahrazování zameškané výuky
Použití předmětu ve studijních plánech
Program B-STR-P: Strojírenství, bakalářský
obor AIŘ: Aplikovaná informatika a řízení, 4 kredity, povinný
Program C-AKR-P: Akreditované předměty v CŽV, celoživotní vzdělávání v akr. stud. programu
obor CZS: Předměty zimního semestru, 4 kredity, volitelný
Typ (způsob) výuky
Přednáška
26 hod., povinná
Vyučující / Lektor
Osnova
1. Úvod (Motivace). Obyčejné diferenciální rovnice 1.řádu (ODR1). Základní pojmy. Metody řešení ODR1 (integrace, separace proměnných, lineární diferenciální rovnice (LDR), exaktní diferenciální rovnice, …).
2. Aplikace ODR1 a jejich řešení v prostředí Matlab (Tepelná výměna, Newtonovy pohybové zákony, RL obvod, …).
3. ODR vyšších řádů. Konstrukce řešení homogenní LDR n-tého řádu. Metoda neurčitých koeficientů pro nehomogenní LDR n-tého řádu.
4. ODR vyšších řádů (pohybové rovnice, průběh oscilací elektrického proudu v RCL obvodu).
5. Aplikace ODR v teorii spojitého řízení (použití základních matematických metod, přenosu a Matlabu).
6. Uvedení Laplaceovy transformace (LT). Základní pojmy. Výpočet přímé LT z definice. Základní věty LT a použití operátorového slovníku.
7. LT v teorii přenosu. Impulsní a přechodová funkce. LT a přenos v Matlabu.
8. Aplikace LT v ODR.Zpětná LT pomocí reziduovy věty. Laplaceova transformace impulsu.
9. Diference, diferenční rovnice s kladnými i zápornými posunutími.
10. Metody řešení diferenčních rovnic (klasický způsob, numerický způsob).
11. Z-přenos, řešení diferenčních rovnic pomocí Z – přenosu. Hledání impulsní a přechodová funkce jako řešení diferenční rovnice a další aplikace diferenčních rovnic v teorii regulace.
12. Numerické integrování a derivování. Numerické metody řešení ODR (Eulerova metoda, Metoda Runge-Kutta, …).
13. Prezentace vybraných (resp. zadaných úloh) diferenciálních rovnic aplikovaných ve fyzice, mechanice, ekonomii, biologii, … Součástí budou minimálně 3 způsoby řešení (včetně řešení v Matlabu) a závěr zaměřený na efektivitu metod.
Cvičení s počítačovou podporou
13 hod., povinná
Vyučující / Lektor
Osnova
Cvičení úzce navazuje na náplň přednášek:
1. Základní metody řešení ODR1 včetně jejich interpretace v prostředí Matlab (Simulink).
2. Aplikace ODR1 v teorii spojitého lineárního řízení.
3. ODR vyšších řádů. Řešení homogenní LDR n-tého řádu. Metoda neurčitých koeficientů pro nehomogenní LDR n-tého řádu.
4. Výpočet ODR vyšších řádů pomocí základních matematických metod.
5. Výpočet ODR vyšších řádů pomocí Matlabu.
6. Využití přímé i zpětné Laplaceovy transformace (LT). Opakování rozkladu na parciální zlomky.
7. LT v teorii přenosu. Impulsní a přechodová funkce.
8. Aplikace LT v ODR. LT, přenos, impulsní a přechodová funkce v Matlabu (Simulink).
9. Výpočet zpětné LT z definice (pomocí reziduovy věty). Laplaceova transformace impulsu. Zadání zápočtových příkladů.
10. Řešení diferenčních rovnic s kladnými i zápornými posunutími numerickým způsobem (otevřené řešení) a klasickým způsobem (charakteristická rovnice).
11. Využití Z – přenosu při řešení diferenčních rovnic. Hledání impulsní a přechodová funkce jako řešení diferenční rovnice a další aplikace diferenčních rovnic v teorii diskrétního řízení.
12. Numerické řešení (numerické integrování a derivování, numerické metody řešení ODR).
13. Prezentace zápočtových příkladů. Zápočet.